Abordagem matemática dos fenômenos paranormais

Ronaldo Dantas Lins

  

1. CONSIDERAÇÕES GERAIS

A mente humana parece ser possuidora de estruturas matemáticas que regem seu funcionamento; o conhecimento da natureza destas estruturas bem como das propriedades que lhes são peculiares permitirá uma melhor compreensão e, consequentemente, controle de diversas funções que a mente exerce.

A análise que realizamos mostra alguns aspectos destas estruturas no que tange a produção dos fenômenos paranormais; em realidade consiste na aplicação à Parapsicologia de vários conceitos matemáticos utilizados em relação a hipnose, conceitos estes desenvolvidos na tese: Hipnose, Métrica e o Problema de Fronteira, apresentada por nós no IX Congresso Brasileiro de Hipnologia, Recife, novembro de 1986, bem como de conceitos outros aplicados mais especificamente aos fenômenos de psikapa, implicando em uma mais ampla abordagem do tema.

Vale ressaltar que as estruturas aqui apresentadas são de natureza abstrata. Assim, quando aludimos ao corpo psi, na abordagem da adaptabilidade do fenômeno psicobiofísico, estamos nos referindo a um constructo matemático, a um modelo, e não a um corpo energético – material, com existência obrigatória.

Como vemos, a proposta é bastante abrangente permitindo a conexão entre fenômenos do psiquismo com características distintas.

 

2. PSIGAMA E MÉTRICA

 

Os fenômenos de psigama são aqueles de natureza psicobiofísica relacionados a tomada de conhecimento, podendo advir da percepção de uma experiência subjetiva, isto é, de um conteúdo mental ou de uma experiência objetiva, ou seja, diretamente de um fato, sem a intervenção de outra mente, caracterizando respectivamente os fenômenos de telepatia e clarividência.

Estes fenômenos podem ocorrer ao longo do eixo tempo em relação ao passado, ao presente ou ao futuro, correspondendo a retrocognição, simulcognição e precognição.

As nossas percepções, notadamente a visual, podem sofrer alterações que podem ser compreendidas como modificações na maneira de medir, de apreender a realidade. A mente humana parece possuir quantificadores através dos quais são analisados e medidos todos os fatos.

Os indivíduos, de um modo geral, possuem uma maneira semelhante de apreender a realidade utilizando-se, portanto, de quantificadores análogos.

O modo como medimos, percebemos as coisas, seria como que uma métrica d sobre o conjunto realidade U.

Assim:

            d (a, b): U ® R, onde a, b Î U e R é o conjunto dos números reais.

 

Definimos como alucinação positiva aquela em que o indivíduo tem a impressão subjetiva de perceber o que não existe no mundo exterior, muitas vezes passando a comportar-se como se o que percebesse fosse efetivamente real.

Estas alucinações podem apresentar-se sob as formas visual, auditiva, olfativa, gustativa ou somatossensorial.

Alucinação negativa é aquela em que o indivíduo não percebe um ente que existe no mundo exterior.

Alucinação positiva é aquela em que ocorre uma percepção sem o estimulo adequado local correspondente.

A alucinação telepática e a clarividência não se enquadram perfeitamente dentro destas definições, por haver uma correspondência entre o percebido e uma experiência subjetiva ou objetiva; esta percepção diferencia-se da usual pelo fato de que, o que é apreendido encontra-se fora do campo de percepção (visual, auditiva, olfativa, gustativa ou somatossensorial).

 

Como já mencionamos, tudo se passa como se o homem possuísse, internamente, uma métrica d (a, b), isto é, uma maneira de perceber, de medir os fatos e as coisas. A utilização de uma outra métrica implicaria num comportamento, numa percepção não comum; se a esta não houver um correspondente real, estaremos diante de um processo patológico, como por exemplo esquizofrenia, ou de um processo hipnótico (de natureza não patológica) e em caso contrário, de um fenômeno paranormal.

Vários fatores, quer de natureza biológica, psicológica ou mesmo social, podem fazer com que a métrica d se transforme na métrica d*, ou seja, haveria uma aplicação T, tal que:

            T: d (a, b) ® d* (a, b).

Conforme o Apêndice II, um círculo pode ser percebido como o interior de um quadrado, de um losango ou de outras inúmeras maneiras, caso utilizemos outras métricas como d1, d2, d3 e não a métrica d0.

 

d0 (a, b) = | b – a |; d1 (a, b) = max. (x2 – x1 | ) , | y2 – y1 | )

d2 (a, b) = | x2 – x1 | + | y2 – y1|; d3 (f, g) = sup (| f(x) – g(x) |: x ÎÎ [0,1])

 

Todas estas figuras representam esferas abertas S (p, r) = {x: d (p, x) < r}, onde r  >  0 (número real).

Temos, portanto, percepções distintas de um mesmo objeto (esfera aberta) devido à mudança de métrica.

 

T1, T2 e T3 representam as aplicações que transformam uma métrica na outra.

Tudo se passa como se o Agente Psi utilizasse uma métrica d* que não é a comumente utilizada e passasse a perceber a realidade de maneira diferente, ou seja, deve existir uma transformada T de modo que:

 

 

 

T seria o processo de transformação de uma métrica em outra, alterando as percepções do indivíduo.

Vamos denominar de região psi (RP) ao conjunto de fatores de natureza emocional e cultural do ser humano.

Quando da ocorrência do fenômeno psi-gama, tudo se passa como se o conjunto dos objetos *(em questão) percebidos A, com cardinalidade diferente de zero, passasse a ser vazio. Como d (B, Æ) = ¥, para qualquer que seja o conjunto B , tomando-se B = RP, o elemento percebido sairá do campo de percepção, não sendo apreendido pelo Agente Psi, ou seja, algumas experiências objetivas produzidas no local onde se encontra o Agente Psi bem como experiências subjetivas, não são apreendidas por este, sendo, as lacunas deixadas, preenchidas por outras experiências, qual seja “o conjunto vazio dos elementos percebidos” Æ, se transforma no “conjunto  não  vazio  dos  elementos  percebidos “A e se antes d ( B, Æ ) = ¥, agora d (RP, A) < ¥, com ¦: Æ  ® A e A, que não se encontrava no campo de percepção, agora poderá estar, podendo ser percebido.

 

Temos assim que tudo se passa como se trabalhássemos com a seguinte métrica:

dh (A, B) = d (A, B), se A está no campo de percepção usual do Agente Psi** dh

dh (A, B) = ¥, se A está fora do campo de percepção usual do Agente Psi

Assim, nos fenômenos de psi-gama:

1. desloca-se uma experiência subjetiva ou objetiva do infinito para as proximidades ao Agente Psi, ou seja, para o seu campo de percepção, caracterizando, respectivamente, a telepatia e a clarividência.
2. concomitantemente, desloca-se uma experiência subjetiva ou objetiva do campo de percepção do Agente Psi para o infinito (fora do seu campo de percepção).

 

3. ADAPTABILIDADE DOS FENÔMENOS PARANORMAIS

 

A Teoria da Elasticidade estuda os corpos elásticos de um modo puramente matemático, partindo apenas de determinadas propriedades e princípios, não fazendo nenhuma hipótese suplementar sobre a substância constitutiva dos mesmos. Assim, pode ser aplicada a corpos de diversas naturezas, até mesmo abstratos, como fazemos aqui.

O psiquismo parece comportar-se como um corpo elástico, alterando-se de acordo com a variação de determinadas condições. Mesmo se for necessário abstrairmos a possibilidade de homogeneidade e isotropia, poderemos tomar, em um corpo elástico, um elemento de superfície S. Supondo, agora, a área do elemento tão pequena que se possa considerar constante as ações aí desenvolvidas, chamaremos de tensão no elemento S o quociente

que representa a tensão no elemento S, normal a um eixo n, tomado como referência. Aplicando esta definição a um elemento de área infinitamente pequeno em torno de um ponto, alcançaremos a idéia de tensão num ponto qualquer, dado por

onde temos que tn é o vetor tensão, dF é o vetor resultante das forças que agem no elemento dS, infinitesimal. Podemos imaginar as forças agentes (F) como os fatores que interagem com o agente psi na deflagração do fenômeno paranormal (2).

Generalizando, poderemos apreender a área S, como sendo o conjunto dos elementos (complexos) informacionais (incluindo os fatores emocionais), talvez até energéticos, do dito Agente Psi.

Assim, quanto mais estruturado, quanto mais integrado for um indivíduo, mais resistirá ele, como veremos pela fórmula supra, as variações das forças externas, pois que a tensão, que é a grandeza que indica o grau de desestruturação provocada pelas forças agentes, decresce com o aumento da área.

O que desejamos destacar é que com a mudança, no ou de ambiente, modificam-se também as respostas obtidas do Agente Psi, podendo acelerar, retardar ou até mesmo evitar a produção do fenômeno paranormal. Quando o Agente Psi muda de ambiente, ou este é alterado, tanto em seu arranjo físico como humano, isto é, quando há modificação na conformação do ambiente ou dos participantes da experiência, faz-se necessário um certo período de tempo para voltar a produção, no seu ritmo habitual, dos fenômenos paranormais. Este tempo é variável de conformidade com o indivíduo, bem como o meio para o qual ele foi deslocado ou a alteração realizada.

Tudo se passa como se houvesse um aumento das forças externas F. Como a área psi S permanece, dentro de certos limites, constante, haverá um conseqüente aumento da tensão. Se este aumento for tal que ultrapasse certo limite, poderá haver o “rompimento” do “corpo psi” (entendido este como uma abstração), com conseqüências desastrosas para a produção do fenômeno. Caso este aumento de tensão possua um valor menor que o limite referido linhas atrás, então, poderá haver uma paralisação temporária, permanente ou mesmo uma redução na qualidade do fenômeno produzido por este Agente Psi.

O meio psi parece ter como principais elementos os fatores meteorológicos, ambientais (“paisagem”), psicológicos (os componentes das experiências) e até mesmo elementos do solo (como por exemplo jazidas) que alteram o psiquismo e consequentemente poderá intervir no andamento do processo psicobiofísico.

Assim, tudo parece transcorrer como se existisse uma adaptabilidade psi, uma deformação de uma estrutura (abstrata), que obedeceria, pelo menos dentro de certos limites, as leis da Teoria da Elasticidade.

 

4. “RAPPORT PSI” E MÉTRICA

 

O estabelecimento de um bom “rapport psi“, qual seja, uma adequada inter-relação entre o Agente Psi e os outros componentes da função psi é fundamental para o êxito da produção do fenômeno paranormal. Nesta seção iremos nos ater apenas a um dos componentes do “rapport psi“, o pesquisador.

O parapsicólogo deverá ter o cuidado de ter sob o seu controle o maior número possível dos fatores (variáveis) que possa intervir na produção do fenômeno; supondo conhecidos estes elementos tais como temperatura, condição psicológica do Agente Psi, bem como condições fisiológicas, participantes do grupo etc., há ainda um fator de fundamental importância e que muitas vezes é a causa de fracasso na pesquisa parapsicológica, qual seja, a relação, a postura do parapsicólogo em relação ao Agente Psi. Este componente do “rapport psi” será mais intenso quanto maior for a identificação, o relacionamento emocional, a admiração, o respeito do Agente Psi em relação ao pesquisador; seria como pontos de contato do Agente Psi em relação ao pesquisador (PCAP)**.

Seja RPa a região psi do Agente Psi e RPp a região psi do pesquisador e o conjunto dos PCAP.

Em um PCAP há como que uma justaposição, uma interseção, uma coincidência entre pontos da RPa e RPp e, consequentemente, em uma métrica qualquer, no caso em questão da (métrica do Agente Psi), temos da (a, p) = 0, onde a Î RPa e p Î RPp, sendo a e p PCAP.

Em princípio da parece não ser uma métrica, haja vista o fato de se o Agente Psi for parapsicólogo e o parapsicólogo for Agente Psi e invertermos as posições de Agente Psi e pesquisador, o fenômeno poderá não ocorrer, isto é, da (p, a) ¹ 0 e da não satisfazer a condição (ii)** necessária para ser uma métrica. Entretanto, notemos que estamos utilizando métricas distintas. Quando invertemos os papéis de Agente Psi e pesquisador passamos a utilizar a métrica dp (métrica do, antes, pesquisador). O que poderia ocorrer é da (p, a) ¹ dp (p, a) e, neste caso, não seria contrariado nenhum princípio métrico.

 

Seja #E o número de PCAP, ou seja, a cardinalidade do conjunto E, possuindo E a seguinte representação:

 

E = {a Î Rp: da (a, p) = 0}; com p Î RPp.

 

Ora, quanto maior for este componente do “rapport psi” maior será # E.

Seja r (# E ) uma função definida como

 

 

 

, ou seja, com p Î RPp .

 

 

Quanto mais intenso for este componente do “rapport psi“, mais r (#E) se aproximam de zero, ou seja, r (#E) é uma função que mede a “aproximação” entre RPa e RPp.

O pesquisador deve buscar aumentar o “rapport psi” como um todo, bem como, o componente deste “rapport” que lhe é devido; este último intento é alcançado, e consequentemente o anterior, aproximando r (#E) de zero, ou seja, deve procurar aproximar RPa de RPp tendo em vista a seguinte expressão:

 

Lim r (# E) = 0

            RPa ®  RPp

 

 

 

5. PSIKAPA E MATEMÁTICA

 

O fenômeno psicobiofísico é dito de psi-kapa quando o Agente Psi exerce uma ação física sobre os seres vivos ou a matéria em geral.

O teletransporte (metafanismo) é o fenômeno de psi-kapa no qual um objeto é deslocado de um ambiente para outro, inacessível sem que haja a ruptura dos limites destas regiões; neste fenômeno, o deslocamento é realizado sem que haja ruptura, nem o restabelecimento de abertura pré-existente para a sua passagem.

Representado por E, a região da qual parte o objeto e por R a região para onde o objeto é deslocado teremos uma função que leva pontos de E (que compõe o objeto) em pontos de R (que constituí o objeto em sua nova posição), isto é, existe f: E ® R.

Uma dada função é dita transgressora, se leva pontos do interior de um conjunto qualquer A em seu exterior, ou seja, g: int (A) ® ext (A).

No teletransporte tudo se passa como se existisse uma função transgressora que levasse pontos do interior de um conjunto em seu exterior, ou seja f: int (E) ®  ext (E).

 

6. FENÔMENO PARANORMAL E INTEGRAL

 

O fenômeno paranormal é um processo de contínua transformação e não apenas um estado, inclusive quando ocorre de maneira aparentemente abrupta, na realidade estaremos observando a eclosão de um processo, não antes percebido. Assim, o processo paranormal é constituído de inúmeros estados contínuos, logo, podemos seccionar este processo em um átimo de seu transformar-se e representando por C0 as condições iniciais e por Cf as condições em um instante qualquer em que se encontra o Agente Psi, o processo paranormal P(x), pode ser descrito como um somatório de estados contínuos, ou seja, uma integral**.

 

Onde x é a variável condições e E(x) a função Estado Paranormal. Entretanto, as condições a cada instante, dependem de vários fatores e não de um apenas. Logo, podemos representá-las por uma n-upla. Desta feita, teríamos uma função Estado Paranormal a várias variáveis E (x1, x2, …, x) e a integral Processo Paranormal não seria simples, porém, múltipla e em realidade teríamos:

Onde A é o conjunto de condições.

 

7. CONCLUSÃO

 

A Parapsicologia e a Matemática possuem um vastíssimo campo de convergência. A compreensão deste fato nos facultará não apenas uma visão mais global, como também, nos permitirá inferir determinadas leis sobre o Processo Paranormal, tomando como base os conceitos e axiomas da matemática.

O fenômeno paranormal, visto como um processo e não como um estado, mostra a real dinâmica do fenômeno, trazendo-nos uma riqueza maior de detalhes que, juntamente com a introdução do conceito de métrica, torna evidente estruturas abstratas existentes na mente humana, agindo a cada instante e sob a ação de inúmeros fatores para a obtenção de fenômenos diversos.

Esta abordagem é fértil, no sentido da produção de novas idéias a da busca de compreensão para o significado de termos como conexão, compacidade, série de Cauchy, tão comuns na Topologia Geral.

 

 

APÊNDICE I

 

 

Vamos conceituar, aqui, integral dupla, cabendo ao leitor apreender o significado da integral simples e múltiplas (no sentido geral) através da consulta às obras indicadas na bibliografia ou outras afins (3).

 

Seja   f (x, y) uma função definida em um domínio D do plano.

 

Suponha D limitado, contido no retângulo

 

Dividimos os lados horizontais desse retângulo em m subintervalos iguais, de comprimentos Dx = (b – a) / m. De maneira análoga faz-se com os lados verticais em n subintervalos Dy = (d – c) / n.

 

Sejam

x0 = a < x1 < x2 < … < x_n = b

 

y0 = c < y1 < y2 < … < yn = d.

 

Traçando, por esses pontos, retas paralelas aos eixos coordenados, o retângulo R fica dividido em subretângulos Rij,  i = 1, … , m e j = 1, … , n . A área de cada um destes subretângulos é DxDy . Tomando em cada sub-retângulo um ponto Pij (ri, sj), formamos a seguinte soma (Soma de Riemann):

 

 

Quando Dx e Dy tendem a zero, ou seja, m e n tendam a infinito, esta soma poderá ter um limite determinado. Neste caso, esse limite é chamado a integral de f sobre o domínio D.

 

ESPAÇO TOPOLÓGICO

 

Seja X um conjunto não vazio. Uma função real d definida em X x X, é denominada uma métrica (4) ou função distância em X se, e somente se, satisfaz, para todo a, b, c Î X, aos seguintes axiomas:

 

 

A propriedade i) afirma que a distância de um ponto a outro nunca é negativa e que a distância de um ponto a si mesmo é zero.

O axioma ii) afirma que a distância de um ponto a a um ponto b é a mesma de b a a.

O axioma iii) afirma que a distância entre dois pontos é menor que a soma das distâncias de um terceiro ponto aos pontos dados.

Finalmente, o axioma iv) afirma que a distância entre dois pontos distintos é sempre positiva.

Uma função que satisfaça i), ii) e iii), mas não necessariamente iv,é chamada de pseudométrica.

Exemplos de métrica:

1. a) A função d definida por d (a, b) = | a – b |, com a e b reais, é

chamada métrica usual em R.

Ademais a função definida por

,

é a métrica usual no R2.

1. b) Seja X um conjunto não vazio e d (a, b) a função definida por

            0, se a = b

                      1, se a ¹ b

Então d é chamada métrica trivial em X.

 

DISTÂNCIA ENTRE CONJUNTOS, DIÂMETROS (5)

 

Seja d (a, b) uma métrica num conjunto X. A distância entre um ponto p e um subconjunto A de X, A ¹ Æ, representa-se e define-se por d (p, A) = inf (d (p, a): a Î A).

A distância entre dois subconjuntos A e B, não vazios, define-se como d (A, B) =

inf [d (a, b): a Î A, b Î B].

O diâmetro de um subconjunto A, não vazio, de X, define-se por d (A) = sup [d (a,a’): a, a’Î A].

Convencionou-se que:  d(p ,Æ ) = ¥, d( A , Æ ) = d (Æ , A ) = ¥, d (Æ ) = – ¥

 

ESFERAS ABERTAS

 

Seja d uma métrica em X. Para um ponto p  X e um real r > 0. Define-se como esfera aberta S (p, r) o conjunto de pontos à distância r de p: S(p , r ) = { x: d ( p , x ) < r}.

Ex. 1: Seja d0 (a, b) = | b – a | uma métrica no R2 (métrica usual). Seja p um ponto do R2 e r = 1. A esfera aberta S (p, r) usando-se d0, é o interior do disco unitário.

 

Ex. 2: Seja d1 (a, b) = max ( | x2 – x1 | , | y2 – y1 | ), onde a = ( x1 , y1) e b = ( x2 , y2). Seja p um ponto do R2 e r = 1. Seja ainda d2 (a, b = | x2 – x1| + | y2 – y1 |. As correspondentes esferas abertas Sd1 (p, r) e Sd2 (p, r), são respectivamente o conjunto dos pontos interiores de um quadrado e de um losango de lado unitário.

 

Ex. 3:  Seja d a métrica na família C [0 , 1] de funções contínuas em [ 0 , 1 ], definida por d3 ( f , g ) = sup ( | f(x) – g(x) | : x Î [ 0 , 1 ] ). Sendo r > 0 e uma função f Î C [0, 1], então a esfera aberta correspondente á constituída de todas as funções contíguas g, cujos gráficos estejam compreendidos na área delimitada por f _–r, f _{+ r} , representado em seguida.

CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS. INTERIOR E FRONTEIRA

 

Seja X um conjunto diferente do vazio e F uma classe de subconjuntos de X. F é dita uma topologia em X se, e somente se, F satisfaz as seguintes condições:

1. i) X e Æ pertencem a F.
2. ii) A união de um número qualquer de conjuntos de F pertence a F.

iii)     A intersecção de dois conjuntos quaisquer de F pertence a F.

 

Os elementos de F chamam-se abertos e o par (X, F) chama-se espaço topológico.

Seja X um espaço topológico. Um subconjunto A de X é fechado se, e somente se, seu complementar é aberto.

Seja A um subconjunto de um espaço topológico X. Um ponto p Î A se p pertence a um aberto contido em A.

p Î G Ì A, com G aberto.

O interior de A é o conjunto dos pontos interiores de A, e representa-se Å ou int (A).

O exterior de A, representado por ext (A), é o interior do complementar de A.

A fronteira de A, representada por fr(A), é o conjunto dos pontos que não pertencem ao interior nem ao exterior de A.

Ex.: Seja X = {a, b, c, d, e} e T = {X, Æ, {a}, {c , d}, { a, c, d }, { b ,c, d, e } } e A=

{b, c, d}. Os pontos c e d são pontos interiores de A, pois c, d Î {c, d} Ì A sendo {c, d} um conjunto aberto. O ponto b Î A; então, int (A) = {c, d}. O único ponto exterior a A é a . Assim, a fronteira de A consiste nos pontos b e e.

 

REGIÃO

 

Definiremos como região um superconjunto de uma família de vizinhanças.

 

 

 

 

REFERÊNCIAS

 

ANDRADE, Hernani Guimarães. Parapsicologia Experimental.

 

BORGES, Valter Rosa e CARUSO, Ivo Cyro. Parapsicologia: Um Novo Modelo (e outras teses). Recife:  FASA, 1986.

 

CARUSO, Ivo Cyro. Parapsicologia Experimental (apostila). Recife: IPPP, 1983

 

LIPSCHITZ, Seymour. Topologia Geral. Rio de Janeiro: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1971.

 

RIO GRÁFICA EDITORA. Inexplicado. 1984.